Question

19．已知函数f（x）=2sinxcosx+2$\sqrt{3}$cos²x-$\sqrt{3}$．
 （1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若f（x₀-$\frac{π}{12}$）=$\frac{6}{5}$，x₀∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，求cos2x₀的值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角和两角和的正弦公式f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），求得周期为π，
（2）f（x₀-$\frac{π}{12}$）=$\frac{6}{5}$，代入求得sin（2x₀+$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{5}$，写出2x₀+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{2π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]，求得，cos（2x₀+$\frac{π}{6}$）=$-\frac{4}{5}$，cos2x₀=cos[（2x₀+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]，利用两角差的余弦公式求cos2x₀的值．

解答 解：（1）f（x）=2sinxcosx+2$\sqrt{3}$cos²x-$\sqrt{3}$，
=sin2x+$\sqrt{3}$cos2x，
=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
f（x）的最小正周期为π，
（2）f（x₀-$\frac{π}{12}$）=$\frac{6}{5}$，
2sin[2（x₀-$\frac{π}{12}$）+$\frac{π}{3}$]=$\frac{6}{5}$，
sin（2x₀+$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{5}$，
x₀∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，2x₀+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{2π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴cos（2x₀+$\frac{π}{6}$）=$-\frac{4}{5}$，
cos2x₀=cos[（2x₀+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]，
=cos（2x₀+$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$+sin（2x₀+$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$，
=$\frac{3-4\sqrt{3}}{10}$，
cos2x₀=$\frac{3-4\sqrt{3}}{10}$．

点评 本题考查二倍角、两角和差的正弦余弦公式及正弦函数的性质，属于中档题．