Question

7．已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=90°，PD⊥底面ABCD，且PD=DA=CD=2AB=2，M为PC的中点，过A，B，M三点的平面与PD交于点N．
（1）求证：BM∥平面PAD；
（2）求多面体MN-ABCD的体积．

Answer 1

分析 （1）由AB∥平面PCD可得AB∥MN∥CD，于是MN=$\frac{1}{2}CD$=AB，故而四边形ABMN是平行四边形，于是BM∥AN，得出BM∥平面PAD；
（2）将多面体分解成三棱锥A-DMN和四棱锥M-ABCD计算体积．

解答 证明：（1）∵AB∥CD，AB?平面PCD，CD?平面PCD，
∴AB∥平面PCD，
又∵AB?平面ABMN，平面ABMN∩平面PCD=MN，
∴AB∥MN．∵AB∥CD，
∴MN∥CD，∵M是PC的中点，
∴MN=$\frac{1}{2}$CD．又∵AB=$\frac{1}{2}CD$，
∴AB=MN．
∴四边形ABMN是平行四边形，
∴BM∥AN，∵AN?平面PAD，BM?平面PAD，
∴BM∥平面PAD．
解：（2）∵PD⊥平面ABCD，M是PC的中点，
∴M到平面ABCD的距离h=$\frac{1}{2}PD=1$．
∴V_M-ABCD=$\frac{1}{3}$S_梯形ABCD•h=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×（2+1）×2×1$=1．
∵AD⊥CD，AD⊥PD，PD∩CD=D，PD?平面PCD，CD?平面PCD，
∴AD⊥平面PCD．
∴V_A-MND=$\frac{1}{3}{S}_{△MND}•AD$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×2$=$\frac{1}{3}$．
∴多面体MN-ABCD的体积V=V_M-ABCD+V_A-MND=1+$\frac{1}{3}$=$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了线面平行的性质与判定，棱锥的体积计算，属于中档题．