Question

17．已知点F是双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点，点E是左顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于点A，若tan∠AEF＜1，则双曲线的离心率e的取值范围是（　　）

• A． （1，+∞）
• B． （1，2）
• C． （1，1+$\sqrt{2}$）
• D． （2，2+$\sqrt{2}$）

Answer 1

分析 由题意可得E（-a，0），F（c，0），|EF|=a+c，令x=c，代入双曲线的方程可得|AF|，再由正切函数的定义，解不等式结合离心率公式，计算即可得到所求范围．

解答 解：由题意可得E（-a，0），F（c，0），
|EF|=a+c，
令x=c，代入双曲线的方程可得y=±b$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}-1}$=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，
在直角三角形AEF中，tan∠AEF=$\frac{|AF|}{|EF|}$=$\frac{\frac{{b}^{2}}{a}}{c+a}$＜1，
可得b²＜a（c+a），
由b²=c²-a²=（c-a）（c+a），可得
c-a＜a，即c＜2a，
可得e=$\frac{c}{a}$＜2，但e＞1，可得1＜e＜2．
故选：B．

点评 本题考查双曲线的离心率的范围，考查双曲线的方程和性质，注意运用正切函数的定义，考查运算能力，属于中档题．