Question

16．在如图所示的多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AB=CD=1，AC=$\sqrt{3}$，AD=DE=2．
（Ⅰ）在线段CE上取一点F，作BF∥平面ACD（只需指出F的位置，不需证明）；
（Ⅱ）对（Ⅰ）中的点F，求三棱锥B-FCD的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据线面平行的判定定理即可确定F的位置
（Ⅱ）根据三棱锥的体积公式进行求解即可求三棱锥B-FCD的体积．

解答 证明：（Ⅰ）取线段CE的中点F，连接BF，则BF∥平面ACD；
（Ⅱ）∵AD²=AC²+CD²，∴∠ACD=90°，
∴AC⊥CD，
∵DE⊥平面ACD，
∴AC⊥DE，
∵DE∩CD=D，
∴AC⊥平面CDE，
∵DE⊥平面ACD，AB⊥平面ACD，
∴AB∥DE，
∵AB?平面CED，DE?平面CED，
∴AB∥平面CDE，
∴B到平面FCD的距离为AC，
∵S_△FCD=$\frac{1}{2}$S_△ECD=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×1×2=\frac{1}{2}$，
∴三棱锥B-FCD的体积V=$\frac{1}{3}AC•$S_△FCD=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题主要考查线面平行的判断以及三棱锥体积的计算，根据相应的判定定理以及体积公式是解决本题的关键．比较基础．