Question

18．已知定点P（3，1），双曲线$\frac{{x}^{2}}{5}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的左、右焦点分别为F₁、F₂，若点A在双曲线上，则|AP|+|AF₂|的最小值为$\sqrt{37}$-2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 求出双曲线的a，b，c，得到焦点，由题意可得A在右支上，利用双曲线的定义|AF₂|=|AF₁|-2a及两边之和不小于第三边，即可求得|PA|+|AF₂|的最小值．

解答 解：∵双曲线$\frac{{x}^{2}}{5}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
∴a=$\sqrt{5}$，b=2，半焦距c=3，
∴右焦点F₂（3，0），左焦点F₁（-3，0），
又P（3，1），A是双曲线上一点，
∴当点A在双曲线的右支上时，|AP|+|AF₂|取得最小值，
∴|AF₂|=|AF₁|-2a=|AF₁|-2$\sqrt{5}$，
∴|AP|+|AF₂|=|AP|+|AF₁|-2$\sqrt{5}$≥|PF₁|-2$\sqrt{5}$=$\sqrt{（3+3）^{2}+（1-0）^{2}}$-2$\sqrt{5}$=$\sqrt{37}$-2$\sqrt{5}$．
当且仅当P，A，F₁共线时，取得最小值$\sqrt{37}$-2$\sqrt{5}$．
故答案为：$\sqrt{37}$-2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查两点间线段最短，考查运算能力，属于中档题．