Question

6．二项式（$\frac{2}{x}$+x³）ⁿ的展开式中，第4项的二项式系数是第3项的二项式系数的2倍．
（Ⅰ）求n的值，并求所有项的二项式系数的和；
（Ⅱ）求展开式中的常数项．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意利用二项式系数的性质，求得n的值．
（Ⅱ）在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得${C}_{n}^{3}$=2${C}_{n}^{2}$，∴n=8，故所有项的二项式系数的和为2⁸=256．
（Ⅱ）由题意可得通项公式为T_r+1=${C}_{8}^{r}$•2^8-r•x^4r-8，令4r-8=0，求得r=2，
可得展开式中的常数项为${C}_{8}^{2}$•2⁶=1792．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题．