Question

17．六棱柱ABCDEF-A₁B₁C₁D₁E₁F₁的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，且侧棱长等于底面边长，则直线AE与CB₁所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

Answer 1

分析 由CB₁∥EF₁，得∠AEF₁是异面直线AE与CB₁所成角，由此能求出直线AE与CB₁所成角的余弦值．

解答 解：∵CB₁∥EF₁，∴∠AEF₁是异面直线AE与CB₁所成角，
设AB=1，则AF₁=EF₁=$\sqrt{2}$，
AE²=1+1-2×1×1×cos120°=3，即AE=$\sqrt{3}$，
∴cos∠AEF₁=$\frac{A{E}^{2}+E{{F}_{1}}^{2}-A{{F}_{1}}^{2}}{2AE•E{F}_{1}}$=$\frac{3+2-2}{2×\sqrt{3}×\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．
∴直线AE与CB₁所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{4}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意余弦定理的合理运用．