Question

8．已知函数f（x）=mx+3，g（x）=x²+2x+m．
（I）解不等式f（x）≥g（x）；
（Ⅱ）若不等式f（x）+g（x）≥0对任意的x∈（-1，+∞）恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （I）整理不等式可得x²-（m-2）x+m-3≤0，利用因式分解得出两根为1和m-3，分别讨论根的大小，得出解集；
（Ⅱ）整理不等式得x²+（2+m）x+m+3≥0对任意的x∈（-1，+∞）恒成立，构造函数令h（x）=x²+（2+m）x+m+3，根据二次函数的性质分别对△
进行讨论即可得出m的范围．

解答 解：（I）f（x）≥g（x），
∴mx+3≥x²+2x+m，
∴x²-（m-2）x+m-3≤0，
∴当m-3＞1即m＞4时，
1≤x≤m-3，
当m-3=1时，即m=4时，
x=1，
当m-3＜1即m＜4时，
m-3≤x≤1；
（Ⅱ）f（x）+g（x）≥0对任意的x∈（-1，+∞）恒成立，
∴x²+（2+m）x+m+3≥0对任意的x∈（-1，+∞）恒成立，
∴令h（x）=x²+（2+m）x+m+3，
∵h（-1）=1-2-m+m+3=2＞0，
当△=（m+2）²-4（m+3）≤0，即$-2\sqrt{2}$≤m≤2$\sqrt{2}$，恒成立，
当△＞0时，
只需-$\frac{2+m}{2}$≤-1，
∴m≥0，
故m的范围为m≥$-2\sqrt{2}$．

点评 考查了二次不等式的解的求法和利用二次函数对△值和对称轴讨论解决恒成立问题．