Question

20．已知四棱锥E-ABCD的底面是边长为2的菱形，且AE⊥平面CDE，AE=1，CE=$\sqrt{7}$
（Ⅰ）求证：平面ABCD⊥平面ADE；
（Ⅱ）设点F是棱BC上一点，若二面角A-DE-F的余弦值为$\frac{\sqrt{37}}{37}$，试确定点F在BC上的位置．

Answer 1

分析 （I）根据面面垂直的判定定理证明平面ABCD⊥平面ADE即可
（Ⅱ）建立空间坐标系，利用向量法求出平面的法向量，利用向量法结合二面角的余弦值求出F的位置即可得到结论．

解答 （Ⅰ）证明：∵AE⊥平面CDE，
∴AE⊥平面DE，AE⊥CD，
∵AE=1，AD=2，∴DE=$\sqrt{3}$，
∵CE=$\sqrt{7}$，CD=2，
∴CD²+DE²=3+4=7，即CD²+DE²=CE²，
∴△CDE是直角三角形，
则CD⊥DE，
∵DE∩AE=E，
∴CD⊥平面ADE；
∵CD?平面ABCD．
∴平面ABCD⊥平面ADE；
（Ⅱ）建立以D为坐标原点，DC，ED，垂直于平面CDE的直线分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：
则A（0，-$\sqrt{3}$，1），E（0，-$\sqrt{3}$，0），C（2，0，0），D（0，0，0），B（2，-$\sqrt{3}$，1），
设$\overrightarrow{CF}$=t$\overrightarrow{CB}$=t（0，-$\sqrt{3}$，1）=（0，-$\sqrt{3}$t，t）（0≤t≤2），
则$\overrightarrow{DF}$=$\overrightarrow{DC}$+$\overrightarrow{CF}$=（2，0，0）+（0，-$\sqrt{3}$t，t）=（2，-$\sqrt{3}$t，t），
$\overrightarrow{DE}$=（0，-$\sqrt{3}$，0），
则设平面DEF的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DF}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2x-\sqrt{3}ty+tz=0}\\{-\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2x+tz=0}\\{y=0}\end{array}\right.$，
令z=1，则x=-$\frac{t}{2}$，y=0，
即为$\overrightarrow{n}$=（-$\frac{t}{2}$，0，1），
平面AED的法向量为$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
若二面角A-DE-F的余弦值为$\frac{\sqrt{37}}{37}$，
则|cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$|=$\frac{|-\frac{t}{2}|}{\sqrt{（-\frac{t}{2}）^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{37}}{37}$，
平方得$\frac{\frac{{t}^{2}}{4}}{\frac{{t}^{2}}{4}+1}=\frac{1}{37}$，即9t²=1，则t²=$\frac{1}{9}$，
则t=$\frac{1}{3}$，
即CF=$\frac{1}{3}$CB=$\frac{2}{3}$，
即点F在BC上的位置满足CF=$\frac{2}{3}$，即可满足条件．

点评 本题主要考查面面垂直判定以及二面角的求解，建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解，综合性较强，运算量较大．