Question

12．已知递增的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₂，a₄，a₈成等比数列，且S_n-5a_n的最小值为-20．
（I）求a_n；
（Ⅱ）设b_n=a₁ⁿ+$\frac{1}{{S}_{n}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）通过记等差数列{a_n}的公差为d（d＞0），利用a₂，a₄，a₈成等比数列化简可知d=a₁，通过S_n-5a_n的最小值为-20即可确定d=2，进而计算可得结论；
（Ⅱ）通过（I）a₁=2、裂项可知$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，进而利用分组法求和及并项相消法计算即得结论．

解答 解：（I）记等差数列{a_n}的公差为d（d＞0），
∵a₂，a₄，a₈成等比数列，
∴${{a}_{4}}^{2}$=a₂a₈，即$（{a}_{1}+3d）^{2}$=（a₁+d）（a₁+7d），
整理得：d²=a₁d，即d=a₁，
∴S_n-5a_n=$\frac{n（n+1）}{2}$d-5nd=（n²-9n）•$\frac{d}{2}$，
∵n²-9n=$（n-\frac{9}{2}）^{2}$-$\frac{81}{4}$，且4²-36=5²-45=-20，
∴-20•$\frac{d}{2}$=-20，即d=2，
∴a_n=2n；
（Ⅱ）由（I）可知S_n=n（n+1），a₁=2，
∵b_n=a₁ⁿ+$\frac{1}{{S}_{n}}$=2ⁿ+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴T_n=（2+2²+…+2ⁿ）+（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$+（1-$\frac{1}{n+1}$）
=2ⁿ⁺¹-$\frac{1}{n+1}$-1．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查分组法求和，考查裂项相消法，注意解题方法的积累，属于中档题．