Question

4．在△ABC中A，B，C的对边分别为a，b，c
（1）若a=2，b=3，c=x，且∠C为钝角，求x的范围
（2）若a²+b²-ab=4，且∠C=30°，求△ABC的面积S的最大值．

Answer 1

分析 （1）由∠C为钝角便可得到cosC＜0，从而根据余弦定理便可得到$\frac{4+9-{x}^{2}}{12}＜0$，解该不等式即可得出x的范围；
（2）可知a²+b²≥2ab，从而由a²+b²-ab=4便可得到ab≤4，又知道∠C=30°，从而由三角形的面积公式即可求出△ABC的面积S的范围，即可得出△ABC的面积S的最大值．

解答 解：（1）在△ABC中，∵∠C为钝角，
∴由余弦定理得，$cosC=\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}=\frac{4+9-{x}^{2}}{12}＜0$；
∵x＞0，∴解得$x＞\sqrt{13}$；
又x＜2+3；
∴x的范围为$（\sqrt{13}，5）$；
（2）由a²+b²-ab=4得a²+b²=ab+4≥2ab，当a=b时取“=”；
∴ab≤4；
又∠C=30°；
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}absin30°=\frac{ab}{4}≤1$；
∴△ABC的面积S的最大值为1．

点评 考查钝角的余弦值小于0，余弦定理，以及不等式a²+b²≥2ab的运用，三角形的面积公式，不等式的性质．