Question

14．已知3tan$\frac{α}{2}$+$ta{n}^{2}\frac{α}{2}$=1，sinβ=3sin（2α+β），则tan（α+β）=（　　）

• A． $\frac{4}{3}$
• B． -$\frac{4}{3}$
• C． -$\frac{2}{3}$
• D． -3

Answer 1

分析 由已知式子可得sin[（α+β）-α]=3sin[（α+β）+α]，保持整体展开变形可得tan（α+β）=-2tanα，再由3tan$\frac{α}{2}$+$ta{n}^{2}\frac{α}{2}$=1和二倍角的正切公式可得tanα的值，代入计算可得．

解答 解：∵sinβ=3sin（2α+β），
∴sin[（α+β）-α]=3sin[（α+β）+α]，
∴sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα=3sin（α+β）cosα+3cos（α+β）sinα，
∴2sin（α+β）cosα=-4cos（α+β）sinα，
∴tan（α+β）=$\frac{sin（α+β）}{cos（α+β）}$=-$\frac{4sinα}{2cosα}$=-2tanα，
又∵3tan$\frac{α}{2}$+$ta{n}^{2}\frac{α}{2}$=1，∴3tan$\frac{α}{2}$=1-$ta{n}^{2}\frac{α}{2}$，
∴tanα=$\frac{2tan\frac{α}{2}}{1-ta{n}^{2}\frac{α}{2}}$=$\frac{2}{3}$，∴tan（α+β）=-2tanα=-$\frac{4}{3}$，
故选：B．

点评 本题考查两角和与差的正切函数，涉及二倍角公式和整体的思想，属中档题．