Question

6．若点O（0，0）和点$F（\sqrt{3}，0）$分别是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-y²=1（a＞0）的中心和右焦点，A为右顶点，点M为双曲线右支上的任意一点，则$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{AM}$的取值范围为（　　）

• A． [-1，+∞）
• B． （0，+∞）
• C． [-2，+∞）
• D． [0，+∞）

Answer 1

分析 先根据双曲线的焦点和方程中的b求得a，则双曲线的方程可得，设出点M，代入双曲线方程求得纵坐标的表达式，根据M，F，O的坐标表示$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{AM}$，进而利用二次函数的性质求得其最小值，则可得$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{AM}$的取值范围．

解答 解：设M（m，n），A（a，0），
则$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{AM}$=（m，n）•（m-a，n）=m²-am+n²．
由F（$\sqrt{3}$，0）是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-y²=1（a＞0）的右焦点，
可得a²+1=3，即a=$\sqrt{2}$，
则双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$-y²=1，
由点M为双曲线右支上的任意一点，
可得$\frac{{m}^{2}}{2}$-n²=1（m≥$\sqrt{2}$），
即有n²=$\frac{{m}^{2}}{2}$-1，
则$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{AM}$=m²-$\sqrt{2}$m+n²=m²-$\sqrt{2}$m+$\frac{{m}^{2}}{2}$-1=$\frac{3}{2}$（m-$\frac{\sqrt{2}}{3}$）²-$\frac{4}{3}$，
由m≥$\sqrt{2}$＞$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
可得函数在[$\sqrt{2}$，+∞）上单调递增，
即有m²-$\sqrt{2}$m+n²≥2-2+1-1=0，
可得$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{AM}$的取值范围为[0，+∞）．
故选：D．

点评 本题考查待定系数法求双曲线方程，考查平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程度以及知识的综合应用能力、运算能力．