Question

1．已知函数f（x）=1+$\frac{a}{{2}^{x}+1}$（a∈R）．
（1）已知f（x）的图象关于原点对称，求实数a的值；
（2）若a=1，已知常数t满足：t•（2^x+1）f（x）＜（2^x+2）²+1对x∈R恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）已知f（x）的图象关于原点对称，根据函数奇偶性的定义建立方程关系即可求实数a的值；
（2）若a=1，将不等式进行化简，利用参数分离法转化为求函数的最值即可．

解答 解：（1）定义域为R，若f（x）的图象关于原点对称，
则知函数为R上的奇函数，则f（0）=0，即1+$\frac{a}{1+1}$=1+$\frac{a}{2}$=0，得a=-2
（2）若a=1，则f（x）=1+$\frac{1}{{2}^{x}+1}$=$\frac{{2}^{x}+2}{{2}^{x}+1}$，
∵t•（2^x+1）f（x）＜（2^x+2）²+1对x∈R恒成立，
∴t•（2^x+1）•$\frac{{2}^{x}+2}{{2}^{x}+1}$＜（2^x+2）²+1对x∈R恒成立，
即t•（2^x+2）＜（2^x+2）²+1对x∈R恒成立，
∵2^x+2＞2，
∴不等式等价为t＜$\frac{（{2}^{x}+2）^{2}+1}{{2}^{x}+2}$=2^x+2+$\frac{1}{{2}^{x}+2}$恒成立，
易知，关于x的函数y=2^x+2+$\frac{1}{{2}^{x}+2}$在上R为增函数，
令m=2^x+2，m＞2，
则m+$\frac{1}{m}$在（2，+∞）上为增，
∴m+$\frac{1}{m}$＞2$+\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$
∴t≤$\frac{5}{2}$．

点评 本题主要考查函数奇偶性的应用，以及不等式恒成立，利用函数奇偶性的定义建立方程关系是解决本题的关键．