Question

17．已知f（x）是定义在[-2，2]上的奇函数，当a，b∈[-2，2]，且a+b≠0时，有$\frac{f（a）+f（b）}{a+b}＞0$．
（1）比较f（1）与f（0）的大小；
（2）若m＞n，试比较f（m）与f（n）的大小；
（3）若f（2）=1，f（x）≤t²-2bt+1，对所有x∈[-2，2]，b∈[-1，1]恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据奇函数的定义可知f（0）=0，结合条件，令a=1，b=0，得出f（1）＞f（0）；
（2）只需判断函数的单调性即可．根据定义，只需分别令a=x₁，b=-x₂，得出函数的单调性．
（3）恒成立问题可转化为1≤t²-2bt+1恒成立，只需求出右式的最小值即可．构造函数记g（b）=-2tb+t²，看成关于b的一次函数，通过讨论t，确定函数的单调性，求出最值即可．

解答 解：（1）∵f（x）是定义在[-2，2]上的奇函数
∴f（0）=0
∵$\frac{f（a）+f（b）}{a+b}＞0$，令a=1，b=0
∴$\frac{f（1）+f（0）}{1+0}＞0$，即f（1）＞0
∴f（1）＞f（0）
（2）设x₁，x₂∈[-2，2]，且x₁＜x₂，在$\frac{f（a）+f（b）}{a+b}＞0$中，令a=x₁，b=-x₂
则$\frac{{f（{x_1}）+f（{-{x_2}}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＞0$
∵x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0
又∵f（x）是定义在[-2，2]上的奇函数，∴f（-x₂）=-f（x₂）
则$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＞0$
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
故f（x）在[-2，2]上为增函数
∵m＞n
∴f（m）＞f（n）
（3）∵f（2）=1，且f（x）在[-2，2]上为增函数，对所有x∈[-2，2]，b∈[-1，1]总有f（x）≤t²-2bt+1恒成立
∴应有1≤t²-2bt+1恒成，即t²-2bt≥0对于任意b∈[-1，1]恒成立
记g（b）=-2tb+t²，若对所有b∈[-1，1]，总有g（b）≥0成立，则只需g（b）在[-1，1]上的最小值不小于零即可．
①当t=0时，g（b）=0，满足题意；
②当t＞0时，g（b）=-2tb+t²是减函数，故在[-1，1]上，g（b）在b=1处取得最小值，
则需满足g（1）=-2t+t²≥0，解得t≥2或t≤0（舍）；
③当t＜0时，g（b）=-2tb+t²是增函数，故在[-1，1]上，g（b）在b=-1处取得最小值，
则需满足g（-1）=2t+t²≥0，解得t≤-2或t≥0（舍）；
综上所述，t的取值范围为t∈（-∞，-2]∪{0}∪[2，+∞）

点评 本题考查了抽象函数的单调性和利用单调性解决恒成立问题．综合性较强．