Question

8．双曲线$\frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{9}$=1上的点P到点（5，0）的距离为8.5，则点P到左准线的距离为$\frac{66}{5}$．

Answer 1

分析 求得双曲线的a，b，c，以及离心率e，由双曲线的性质可得P为右支上一点，运用双曲线的第二定义，可得P到右准线的距离，由准线方程即可得到所求距离．

解答 解：双曲线$\frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{9}$=1的a=4，b=3，
可得c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=5，
离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{5}{4}$，
点P到点（5，0）的距离为8.5，
即为P到右焦点F的距离为8.5，
若P在左支上，即有|PF|≥c+a=9，
可得P为右支上一点，
即有e=$\frac{|PF|}{d}$（d为P到由准线的距离），
可得d=$\frac{|PF|}{e}$=$\frac{8.5}{\frac{5}{4}}$=$\frac{34}{5}$，
由两准线的距离为$\frac{2{a}^{2}}{c}$=$\frac{32}{5}$，
可得点P到左准线的距离为$\frac{34}{5}$+$\frac{32}{5}$=$\frac{66}{5}$．

点评 本题考查双曲线的定义、方程和性质，注意运用双曲线的第二定义，考查化简整理的运算能力，属于中档题．