Question

3．已知抛物线C₁：y²=2px（p＞0）上一点P到其焦点F的距离为$\frac{3}{2}$，以P为原点且与抛物线准线l相切的圆恰好过原点O．
（1）求抛物线C₁的方程；
（2）设点A（a，0）（a＞2），圆C₂的圆心T是曲线C₁上的动点，圆C₂与y轴交于M、N两点，且|MN|=4，若点A到点T的最短距离为a-1，试判断直线l与圆C₂的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线的定义结合圆的性质建立方程关系进行求解即可．
（2）根据抛物线与圆的位置关系求出圆心T的坐标，结合直线和圆的位置关系进行求解即可．

解答 （1）∵y²=2px（p＞0）上一点P到其焦点F的距离为$\frac{3}{2}$，
∴|PF|=$\frac{3}{2}$，
∵以P为原点且与抛物线准线l相切的圆恰好过原点O，
∴|PO|=|PF|=$\frac{3}{2}$，
即△POF为等腰三角形，过P作PQ⊥x于Q，
则x=$\frac{p}{4}$，
∴$\frac{p}{2}+\frac{p}{4}=\frac{3}{2}$得p=2，
∴抛物线的方程为y²=4x．
（2）设T（x₀，y₀），圆C₂的半径为r，
∵T是抛物线y²=4x上的动点，
∴．y₀²=4x₀，（x₀≥0），
∴|AT|=$\sqrt{（{x}_{0}-a）^{2}+（{y}_{0}-0）^{2}}$=$\sqrt{[{x}_{0}-（a-2）]^{2}+4a-4}$，
∵a＞2，∴a-2＞0，
则当x₀=a-2时，AT取得最小值为2$\sqrt{a-1}$，
由2$\sqrt{a-1}$=a-1，平方得a²-6a+5=0，得a=5或a=1（舍），
则当x₀=a-2=3，y₀²=4x₀=12，即y₀=±2$\sqrt{3}$，
∴圆C₂的圆心T（3，±2$\sqrt{3}$），
∵圆C₂与y轴交于M，N两点，且|MN|=4，
∴|MN|=2$\sqrt{{r}^{2}-{{x}_{0}}^{2}}$=4，
∴r=$\sqrt{4+{{x}_{0}}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∵点T到直线l的距离d=|x₀+1|=4$＞\sqrt{13}$，
∴直线l与圆C₂相离．

点评 本题主要考查抛物线方程的求解，以及直线和圆的位置关系的判断，综合性考查圆锥曲线的性质，运算量量较大，综合性较强．