Question

15．已知双曲线C：${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$的左、右焦点分别是F₁，F₂，若A是双曲线右支上一点且满足$∠{F_1}A{F_2}={60^o}$，则${S_{△{F_1}A{F_2}}}$=（　　）

• A． $3\sqrt{3}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $2\sqrt{3}$
• D． 3

Answer 1

分析 利用双曲线的定义，可求得|AF₁|-|AF₂|=2a=2，|F₁F₂|=2c=4，先由余弦定理求得|AF₁|•|AF₂|=12，再利用△F₁AF₂的面积S=$\frac{1}{2}$|AF₁|•|AF₂|sin∠F₁AF₂，计算即可得到所求值．

解答 解：双曲线C：${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$的a=1，b=$\sqrt{3}$
可得c²=a²+b²=4，
又|AF₁|-|AF₂|=2a=2，|F₁F₂|=2c=4，∠F₁AF₂=60°，
在△F₁AF₂中，由余弦定理得：
|F₁F₂|²=|AF₁|²+|AF₂|²-2|AF₁|•|AF₂|cos∠F₁AF₂
=（|AF₁|-|AF₂|）²+|AF₁|•|AF₂|，
即4c²=4a²+|AF₁|•|AF₂|，
可得|AF₁|•|AF₂|=4b²=12，
即有△F₁AF₂的面积S=$\frac{1}{2}$|AF₁|•|AF₂|sin∠F₁AF₂=$\frac{1}{2}$×12×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的简单性质，着重考查双曲线的定义与a、b、c之间的关系式的应用，考查三角形的面积公式，考查转化思想与运算能力，属于中档题．