Question

10．若A，B是双曲线x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1上两个动点，且$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，则△AOB面积的最小值是$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 设直线OA的方程为y=kx，则直线OB的方程为y=-$\frac{1}{k}$x，设点A（x₁，y₁），y=kx与双曲线方程联立，可得x₁²=$\frac{3}{3-{k}^{2}}$，y₁²=$\frac{3{k}^{2}}{3-{k}^{2}}$，可求得|OA|²，|OB|²，|OA|²•|OB|²，利用二次函数的最值求法，即可求得最小值．

解答 解：设直线OA的方程为y=kx，
由$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，即OA⊥OB，
则直线OB的方程为y=-$\frac{1}{k}$x，
设点A（x₁，y₁），y=kx与双曲线方程联立，
可得x₁²=$\frac{3}{3-{k}^{2}}$，y₁²=$\frac{3{k}^{2}}{3-{k}^{2}}$，
∴|OA|²=x₁²+y₁²=$\frac{3+3{k}^{2}}{3-{k}^{2}}$，
同理|OB|²=$\frac{3+3{k}^{2}}{3{k}^{2}-1}$，
故|OA|²•|OB|²=$\frac{（3+3{k}^{2}）^{2}}{-3{k}^{4}+10{k}^{2}-3}$，
令1+k²=t（t＞1），即k²=t-1，
可得$\frac{（3+3{k}^{2}）^{2}}{-3{k}^{4}+10{k}^{2}-3}$=$\frac{9{t}^{2}}{-3（t-1）^{2}+10（t-1）-3}$
=$\frac{9{t}^{2}}{-3{t}^{2}+16t-16}$=$\frac{9}{-3+\frac{16}{t}-\frac{16}{{t}^{2}}}$=$\frac{9}{-16（\frac{1}{t}-\frac{1}{2}）^{2}+1}$，
由t＞1可得0＜$\frac{1}{t}$＜1，
即有t=2即k=±1时，取得最小值9．
即有|OA|•|OB|≥3，
故S_△AOB=$\frac{1}{2}$|OA|•|OB|的最小值为$\frac{3}{2}$．
故答案为：$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查双曲线的简单性质与三角形的面积，考查二次函数的最值的求法，考查转化与运算能力，属于中档题．