Question

4．已知数列{a_n}中，a₁=-$\frac{5}{12}$，na_n+1=（n+1）a_n+$\frac{n}{n+3}$，则该数列的通项a_n=-$\frac{n（2n+3）}{2（n+1）（n+2）}$．

Answer 1

分析 在等式的两边同时除以n（n+1），得$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$-$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+3}$），然后利用累加法求数列的通项公式即可．

解答 解：∵na_n+1=（n+1）a_n+$\frac{n}{n+3}$，
∴在等式的两边同时除以n（n+1），得$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$-$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+3}$），
所以$\frac{{a}_{n}}{n}$=a₁+$\frac{1}{2}$[（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）+（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$）+…+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$）]=-$\frac{5}{12}$+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{n+2}$-$\frac{1}{n+1}$），
所以a_n=-$\frac{n（2n+3）}{2（n+1）（n+2）}$，
故答案为：-$\frac{n（2n+3）}{2（n+1）（n+2）}$．

点评 本题主要考查利用累加法求数列的通项公式，以及利用裂项法求数列的和，要使熟练掌握这些变形技巧．