Question

14．已知在（1+x）³+（1十x）⁴+…+（1+x）ⁿ（n∈N^*）的展开式中．
（1）求含x²项的系数；
（2）利用${C}_{n}^{2}$=$\frac{n（n-1）}{2}$，求1²+2²+3²+…+n²．

Answer 1

分析 （1）由条件利用二项式系数的性质求得结果．
（2）由题意求得n²=2${C}_{n}^{2}$+n，把要求的式子化为1+2（${C}_{2}^{2}$+${C}_{3}^{2}$+${C}_{4}^{2}$+…+${C}_{n}^{2}$ ）+（2+3+…+n），再利用二项式系数的性质、等差数列的求和公式，计算求得结果．

解答 解：（1）在（1+x）³+（1十x）⁴+…+（1+x）ⁿ（n∈N^*）的展开式中，
含x²项的系数为${C}_{3}^{2}$+${C}_{4}^{2}$+${C}_{5}^{2}$+…+${C}_{n}^{2}$=2+${C}_{3}^{3}$+${C}_{4}^{2}$+${C}_{5}^{2}$+…+${C}_{n}^{2}$=2+${C}_{n+1}^{3}$=2+$\frac{（n+1）•n•（n-1）}{6}$．
（2）${C}_{n}^{2}$=$\frac{n（n-1）}{2}$=$\frac{{n}^{2}}{2}$-$\frac{n}{2}$，∴n²=2${C}_{n}^{2}$+n，
∴1²+2²+3²+…+n²=1+2（${C}_{2}^{2}$+${C}_{3}^{2}$+${C}_{4}^{2}$+…+${C}_{n}^{2}$ ）+（2+3+…+n）
=1+2${C}_{n+1}^{3}$+$\frac{（n-1）（n+2）}{2}$=1+2•$\frac{（n+1）•n•（n-1）}{6}$+$\frac{（n-1）（n+2）}{2}$=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、组合数的计算公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．