Question

2．已知篮球比赛中，得分规则如下：3分线外侧投入可得3分，踩线及3分线内侧投入可得2分，不进得0分；经过多次试验，某生投篮100次，有20个是3分线外侧投入，30个是踩线及3分线内侧投入，其余不能入篮，且每次投篮为相互独立事件．
（1）求该生在4次投篮中恰有三次是3分线外侧投入的概率；
（2）求该生两次投篮后得分ξ的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （1）由已知得该生投投篮3分线外侧投入的概率P（A）=0.2，踩线及3分线内侧投入的概率P（B）=0.3，不能入篮的概率P（C）=0.5，由此能求出该生在4次投篮中恰有三次是3分线外侧投入的概率．（2）由已知得ξ的可能取值为0，2，3，4，5，6，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列及数学期望．

解答 解：（1）由已知得该生投投篮3分线外侧投入的概率P（A）=0.2，
踩线及3分线内侧投入的概率P（B）=0.3，不能入篮的概率P（C）=0.5，
∴该生在4次投篮中恰有三次是3分线外侧投入的概率：
p=${C}_{4}^{3}（0.2）^{3}（0.8）$=0.32．
（2）由已知得ξ的可能取值为0，2，3，4，5，6，
P（ξ=0）=0.5×0.5=0.25，
P（ξ=2）=${C}_{2}^{1}（0.5）（0.3）$=0.3，
P（ξ=3）=${C}_{2}^{1}（0.5）（0.2）=0.2$，
P（ξ=4）=${C}_{2}^{2}（0.3）^{2}$=0.09，
P（ξ=5）=${C}_{2}^{1}（0.2）（0.3）$=0.12，
P（ξ=6）=0.2×0.2=0.04，
∴ξ的分布列为：

ξ	0	2	3	4	5	6
P	0.25	0.3	0.2	0.09	0.12	0.04

Eξ=0×0.25+2×0.3+3×0.2+4×0.09+5×0.12+6×0.04=2.4．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．