Question

11．已知函数y=$\sqrt{（2+x）（3-x）}$和y=lg（kx²+4x+k+3）的定义域分别为A，B，B⊆A时，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 由题意知（2+x）（3-x）≥0，从而求得A=[-2，3]；再分类讨论求集合B，从而求得．

解答 解：由题意知（2+x）（3-x）≥0，
解得，-2≤x≤3，
故函数y=$\sqrt{（2+x）（3-x）}$的定义域A=[-2，3]；
当k=0时，kx²+4x+k+3=4x+3＞0，
故B=（-$\frac{3}{4}$，+∞）；
故不成立；
当k≠0时，kx²+4x+k+3＞0的解集B⊆A；
故$\left\{\begin{array}{l}{△=16-4k（k+3）＞0}\\{k＜0}\\{-2＜\frac{2}{k}＜3}\\{k（-2）^{2}-8+k+3≤0}\\{9k+12+k+3≤0}\end{array}\right.$，
解得，-4＜k≤-$\frac{3}{2}$，
故实数k的取值范围为（-4，-$\frac{3}{2}$]．

点评 本题考查了函数的定义域的求法及分类讨论与转化思想的应用．