Question

19．已知f（x）=log₂（ax²+（a-1）x+1）的值域为R，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 根据对数函数的值域便知，（0，+∞）是函数y=ax²+（a-1）x+1值域的子集，从而得到$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{（a-1）^{2}-4a≥0}\end{array}\right.$或a=0，解该不等式组即可得出实数a的取值范围．

解答 解：设y=ax²+（a-1）x+1，根据题意（0，+∞）⊆{y|y=ax²+（a-1）x+1}
∴a=0，f（x）=log₂（-x+1），值域为R，
或$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{（a-1）^{2}-4a≥0}\end{array}\right.$，解得a≥3+2$\sqrt{2}$．
∴实数a的取值范围为[3+2$\sqrt{2}$，+∞）∪{0}．

点评 考查函数值域的概念，对数函数的值域，二次函数的取值和判别式△的关系，以及子集的概念．