Question

10．如图：已知，在△OAB中，点A是BC的中点，点D是将向量$\overrightarrow{OB}$分为2：1的一个分点，DC和OA交于点E，则三角形OEC与OBC的面积的比值是（　　）

• A． $\frac{2}{5}$
• B． $\frac{4}{5}$
• C． $\frac{3}{5}$
• D． $\frac{3}{8}$

Answer 1

分析 根据图形可设$\overrightarrow{OE}=λ\overrightarrow{OA}$，而由条件可得到$\overrightarrow{OA}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}）$，$\overrightarrow{OB}=\frac{3}{2}\overrightarrow{OD}$，从而便可得到$\overrightarrow{OE}=\frac{3λ}{4}\overrightarrow{OD}+\frac{λ}{2}\overrightarrow{OC}$，这样由C，E，D三点共线便可得到$\frac{3λ}{4}+\frac{λ}{2}=1$，解出$λ=\frac{4}{5}$，从而可得到${S}_{△OEC}=\frac{4}{5}{S}_{△OAC}$，而${S}_{△OAC}=\frac{1}{2}{S}_{△OBC}$，从而便可得出三角形OEC与OBC的面积的比值．

解答 解：∵O，E，A三点共线，且点A是BC的中点；
∴设$\overrightarrow{OE}=λ\overrightarrow{OA}=\frac{λ}{2}（\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}）$；
又$\overrightarrow{OB}=\frac{3}{2}\overrightarrow{OD}$，带入上式得，$\overrightarrow{OE}=\frac{3λ}{4}\overrightarrow{OD}+\frac{λ}{2}\overrightarrow{OC}$；
∵C，E，D三点共线；
∴$\frac{3λ}{4}+\frac{λ}{2}=1$；
故$λ=\frac{4}{5}$；
∴$\overrightarrow{OE}=\frac{4}{5}\overrightarrow{OA}$；
∴${S}_{△OEC}=\frac{4}{5}{S}_{△OAC}=\frac{4}{5}×\frac{1}{2}{S}_{△OBC}$；
∴三角形OEC与OBC的面积的比值是$\frac{2}{5}$．
故选：A．

点评 考查共线向量基本定理，向量加法的平行四边形法则，向量的数乘运算，向量数乘的几何意义，知道当C，E，D三点共线时，有$\overrightarrow{OE}=x\overrightarrow{OD}+y\overrightarrow{OC}$，且x+y=1，以及三角形的面积公式．