Question

15．如图：已知，在△OAB中，点A是BC的中点，点D是将向量$\overrightarrow{OB}$分为2：1的一个分点，DC和OA交于点E，则AO与OE的比值是（　　）

• A． 2
• B． $\frac{5}{4}$
• C． $\frac{3}{2}$
• D． $\frac{6}{5}$

Answer 1

分析 根据条件可得$\overrightarrow{OE}=\frac{λ}{2}（\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}）$，而$\overrightarrow{OB}=\frac{3}{2}\overrightarrow{OD}$，带入上式便可得出$\overrightarrow{OE}=\frac{3λ}{4}\overrightarrow{OD}+\frac{λ}{2}\overrightarrow{OC}$，这样由C，E，D三点共线便可得到$\frac{3λ}{4}+\frac{λ}{2}=1$，从而可求出λ的值，进而便可得出AO与OE的比值．

解答 解：∵O，E，A三点共线，且A是BC的中点；
∴设$\overrightarrow{OE}=λ\overrightarrow{OA}=\frac{λ}{2}（\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}）$；
又$\overrightarrow{OB}=\frac{3}{2}\overrightarrow{OD}$；
∴$\overrightarrow{OE}=\frac{3λ}{4}\overrightarrow{OD}+\frac{λ}{2}\overrightarrow{OC}$；
∵C，E，D三点共线；
∴$\frac{3λ}{4}+\frac{λ}{2}=1$；
解得$λ=\frac{4}{5}$；
∴$\overrightarrow{OE}=\frac{4}{5}\overrightarrow{OA}$；
∴$\frac{AO}{OE}=\frac{5}{4}$．
故选：B．

点评 考查共线向量基本定理，向量加法的平行四边形法则，以及向量数乘的几何意义，向量的数乘运算，知道当C，E，D三点共线时，有$\overrightarrow{OE}=x\overrightarrow{OD}+y\overrightarrow{OC}$且x+y=1．