Question

4．函数f_M（x）的定义域为R，且定义如下：f_M（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x，x∈M}\\{\frac{1}{x}，x∉M}\end{array}\right.$（M是实数集R的非空真子集），若A={x||x-1|≤2}，B={x|-1≤x＜1}，则F（x）=$\frac{2{f}_{A∪B}（x）+1}{{f}_{A}（x）+{f}_{B}（x）+1}$的最大值为$\frac{21}{13}$．

Answer 1

分析 根据条件先求出A，A∪B的范围，根据定义将函数F（x）表示为分段函数形式，利用导数研究函数的单调性和最值即可．

解答 解：A={x||x-1|≤2}={x|-2≤x-1≤2}={x|-1≤x≤3}，B={x|-1≤x＜1}，
则A∪B={x|-1≤x≤3}，
则f_A∪B（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x，}&{-1≤x≤3}\\{\frac{1}{x}，}&{x＞3或x＜-1}\end{array}\right.$，f_A（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x，}&{-1≤x≤3}\\{\frac{1}{x}，}&{x＞3或x＜-1}\end{array}\right.$，f_B（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x，}&{-1≤x＜1}\\{\frac{1}{x}，}&{x＜-1或x≥1}\end{array}\right.$，
即当-1≤x＜1时，F（x）=$\frac{2x+1}{x+x+1}=\frac{2x+1}{2x+1}$=1，
当1≤x≤3时，F（x）=$\frac{2x+1}{x+\frac{1}{x}+1}$=$\frac{2{x}^{2}+x}{{x}^{2}+x+1}$，
此时F′（x）=$\frac{（4x+1）（{x}^{2}+x+1）-（2{x}^{2}+x）（2x+1）}{（{x}^{2}+x+1）^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+4x+1}{（{x}^{2}+x+1）^{2}}$＞0恒成立，
即此时F（x）为增函数，
则F（1）=$\frac{2+1}{1+1+1}$=$\frac{2}{3}$，F（3）=$\frac{2×{3}^{2}+3}{{3}^{2}+3+1}$=$\frac{18+3}{9+4}$=$\frac{21}{13}$．
当x＞3或x＜-1时，F（x）=$\frac{\frac{2}{x}+1}{\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+1}=1$，
综上函数的最大值为$\frac{21}{13}$．
故答案为：$\frac{21}{13}$．

点评 本题主要考查函数最值的求解，根据条件将函数F（x）表示为分段函数形式，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．