Question

19．已知a、b、c分别为△ABC三个内角A、B、C的对边，若cosB=$\frac{4}{5}$，a=5，△ABC的面积为12，则$\frac{a+c}{sinA+sinC}$的值等于$\frac{25}{3}$．

Answer 1

分析 求出sinB，代入面积公式S=$\frac{1}{2}acsinB$求出c，利用余弦定理计算b，则$\frac{a+c}{sinA+sinC}$=$\frac{b}{sinB}$．

解答 解：∵△ABC中cosB=$\frac{4}{5}$，a=5，sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{3}{5}$，
S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=12，∴c=8．
∴由余弦定理得b=$\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}-2accosB}$=5，
∴$\frac{a+c}{sinA+sinC}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{25}{3}$．
故答案为：$\frac{25}{3}$．

点评 本题考查了余弦定理，三角形的面积公式，属于基础题．