Question

5．求证不等式：-1＜$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{5}$+$\frac{3}{10}$+…+$\frac{n}{{n}^{2}+1}$-lnn≤$\frac{1}{2}$，n∈N^*．

Answer 1

分析 n=1时，$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{5}$+$\frac{3}{10}$+…+$\frac{n}{{n}^{2}+1}$-lnn=$\frac{1}{2}$，结论成立；n≥2时，$\frac{1}{n+1}$＜$\frac{n}{{n}^{2}+1}$＜$\frac{1}{n}$，证明：-1＜$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{5}$+$\frac{3}{10}$+…+$\frac{n}{{n}^{2}+1}$-lnn＜$\frac{1}{2}$，n∈N^*．就是要证明：-1＜$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n+1}$-lnn，且$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-lnn＜$\frac{1}{2}$，n≥2，n∈N^*．分别构造函数，即可证明结论．

解答 证明：n=1时，$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{5}$+$\frac{3}{10}$+…+$\frac{n}{{n}^{2}+1}$-lnn=$\frac{1}{2}$，满足：-1＜$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{5}$+$\frac{3}{10}$+…+$\frac{n}{{n}^{2}+1}$-lnn≤$\frac{1}{2}$，
n≥2时，$\frac{1}{n+1}$＜$\frac{n}{{n}^{2}+1}$＜$\frac{1}{n}$，证明：-1＜$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{5}$+$\frac{3}{10}$+…+$\frac{n}{{n}^{2}+1}$-lnn＜$\frac{1}{2}$，n∈N^*．
就是要证明：-1＜$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n+1}$-lnn，且$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-lnn＜$\frac{1}{2}$，n≥2，n∈N^*．
令f（x）=$\frac{1-x}{x}$+lnx，则f′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$，
当x≥1时，f′（x）≥0，∴f（x）在[1，+∞）上为增函数，
∴n≥2时：f（$\frac{n}{n-1}$）=ln$\frac{n}{n-1}$-$\frac{1}{n}$＞f（1）=0，
即：$\frac{1}{n}$＜ln$\frac{n}{n-1}$，
∴$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$＜lnn，
∴$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-lnn＜$\frac{1}{2}$．
令g（x）=ln（x+1）-x，则g′（x）=$\frac{1}{x+1}$-1，
当x≥1时，g′（x）＜0，∴g（x）在[1，+∞）上减函数，
∴n≥2时：g（$\frac{1}{n}$）=ln$\frac{n+1}{n}$-$\frac{1}{n}$＜g（1）＜0，
即：$\frac{1}{n}$＞ln$\frac{n+1}{n}$，
∴$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n+1}$＞ln（n+1）-ln2＞lnn-1
∴-1＜$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n+1}$-lnn，
综上所述，-1＜$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{5}$+$\frac{3}{10}$+…+$\frac{n}{{n}^{2}+1}$-lnn≤$\frac{1}{2}$，n∈N^*．

点评 本题考查了利用构造函数法证明数列不等式，考查导数知识的运用，是难题，正确构建函数是关键．