Question

15．证明数列a_n=${2}^{{2}^{n}}$+1（n=0，1，2，…．）的任意两项都是互素的．

Answer 1

分析 由题意，只要证明数列a_n=${2}^{{2}^{n}}$+1（n=0，1，2，…．）的任意相邻两项都是互素的．利用反证法证明即可．

解答 证明：由题意，只要证明数列a_n=${2}^{{2}^{n}}$+1（n=0，1，2，…．）的任意相邻两项都是互素的．
假设a_n+1与a_n不是互素的，则存在t=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$≥2，t∈N₊，
∴t-1=$\frac{{2}^{{2}^{n}}（{2}^{{2}^{n}}-1）}{{2}^{{2}^{n}}+1}$≥1，t∈N₊，
设m=${2}^{{2}^{n}}$+1，则t-1=$\frac{（m-1）（m-2）}{m}$=m-3+$\frac{2}{m}$，
∵m≥3，m∈N₊，
∴m-3+$\frac{2}{m}$∉N₊，
与t-1∈N₊矛盾，
∴a_n+1与a_n不是互素的不成立，
∴数列a_n=${2}^{{2}^{n}}$+1（n=0，1，2，…．）的任意两项都是互素的．

点评 本题考查数列知识，考查用反证法证明数学命题，推出矛盾，是解题的关键和难点，属于中档题．