Question

5．已知直角三角形ABC中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，点D，E分别是边AC，AB上的动点（不含A点），且满足$\frac{AD}{AE}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$（图1）．将△ADE沿DE折起，使得平面ADE⊥平面BCDE，连结AB、AC（图2）．
（I）求证：AD⊥平面BCDE；
（II）求四棱锥A-BCDE体积的最大值．

Answer 1

分析 （I）利用勾股定理计算AB，则$\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}$，故而△ADE∽△ABC，所以AD⊥DE，由面面垂直的性质即可推出AD⊥平面BCDE；
（II）设DE=x，用x表示出四棱锥A-BCDE的体积，利用函数的单调性求出棱锥体积的最大值．

解答 证明：（I）∵AC=6，BC=3，∠ABC=90°，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}-B{C}^{2}}$=3$\sqrt{3}$．
∵$\frac{AD}{AE}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$=$\frac{AB}{AC}$，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠ADE=∠ABC=90°，即AD⊥DE．
∵平面ADE⊥平面BCDE，且平面∩平面=DE，AD⊆平面ADE，
∴AD⊥平面BCDE．
解：（II）设DE=x，则AE=2x，$AD=\sqrt{3}x$，
∴S_{四边形BCDE}=S_△ABC-S_△ADE=$\frac{1}{2}×3×3\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}{x}^{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}（9-{x}^{2}）$．
∴V_A-BCDE=$\frac{1}{3}$S_{四边形BCDE}•AD=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}（9-{x}^{2}）•\sqrt{3}$x=$\frac{1}{2}$（9x-x³），（0＜x＜$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）．
令f（x）=9x-x³（$0＜x≤\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$），则f′（x）=9-3x²，令f′（x）=0得$x=\sqrt{3}$，
当0$＜x＜\sqrt{3}$时，f′（x）＞0，当$\sqrt{3}＜x＜\frac{3\sqrt{3}}{2}$时，f′（x）＜0．
∴f（x）在$（{0，\sqrt{3}}]$上单调递增，在$（{\sqrt{3}，\frac{{3\sqrt{3}}}{2}}]$上单调递减，
∴当$DE=\sqrt{3}$，即$AE=2\sqrt{3}$，AD=3时，四棱锥A-BCDE体积最大．
此时V_A-BCDE=$\frac{1}{2}×（9\sqrt{3}-3\sqrt{3}）=3\sqrt{3}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定，面面垂直的性质，棱锥的体积计算，函数的最值，属于中档题．