Question

20．过定点P（1，2）的直线l交双曲线$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$于A，B两点，线段AB的中点坐标为（2，4），双曲线的左顶点到右焦点的距离为$\sqrt{5}+1$．求曲线C的方程．

Answer 1

分析 设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入双曲线的方程，运用作差法和中点坐标公式、直线的斜率公式，可得b=2a，再由a+c=1+$\sqrt{5}$，解方程可得a，b，进而得到双曲线的方程．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则$\left\{\begin{array}{l}\frac{{{x_1}^2}}{a^2}-\frac{{{y_1}^2}}{b^2}=1\\ \frac{{{x_2}^2}}{a^2}-\frac{{{y_2}^2}}{b^2}=1\end{array}\right.$，
相减得：$\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=\frac{{（{{x_1}+{x_2}}）{b^2}}}{{（{{y_1}+{y_2}}）{a^2}}}$，
由中点坐标公式可得x₁+x₂=4，y₁+y₂=8，
且直线l的斜率为k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{4-2}{2-1}$=2，
即有$2=\frac{{4{b^2}}}{{8{a^2}}}$，得b²=4a²．
又$a+c=\sqrt{5}+1$且a²+b²=c²，
解得a²=1，b²=4，
故双曲线的方程为：${x^2}-\frac{y^2}{4}=1$．

点评 本题考查双曲线的方程的求法，注意运用点差法和中点坐标公式、直线的斜率公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．