Question

13．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E、F分别为边CC₁、B₁C₁的中点，点G、H分别在AA₁、D₁A₁上，且满足AA₁=3AG，D₁H=2HA₁，则异面直线EF、GH所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

Answer 1

分析 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线EF、GH所成角的余弦值．

解答 解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
由题意E（0，2，1），F（1，2，2），G（2，0，$\frac{2}{3}$），H（$\frac{4}{3}$，0，2），
$\overrightarrow{EF}$=（1，0，1），$\overrightarrow{GH}$=（-$\frac{2}{3}$，0，$\frac{4}{3}$），
设异面直线EF、GH所成角的为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{GH}|}{|\overrightarrow{EF}|•|\overrightarrow{GH}|}$=$\frac{\frac{2}{3}}{\sqrt{2}•\sqrt{\frac{20}{9}}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
∴异面直线EF、GH所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

点评 本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．