Question

2．△ABC中，A，B，C成等差数列，a²=b²+c²-$\sqrt{3}$bc，又a，b，c+4成等比数列．
（1）求A，B，C．
（2）求a，b，c
（3）求△ABC的面积S以及△ABC的外接圆半径．

Answer 1

分析 （1）由等差数列和三角形的内角和可得B=$\frac{π}{3}$，再由余弦定理可得cosA，可得A值，进而可得C值；
（2）由（1）的三个角，可设a=k，b=$\sqrt{3}$k，c=2k，k为正数，由等比数列解k的方程可得；
（3）由直角三角形的面积公式以及和圆的位置关系可得．

解答 解：（1）∵△ABC中，A，B，C成等差数列，
∴2B=A+C，再由A+B+C=π可得B=$\frac{π}{3}$，
又∵a²=b²+c²-$\sqrt{3}$bc，∴cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴A=$\frac{π}{6}$，C=π-A-B=$\frac{π}{2}$；
（2）由（1）可得A=$\frac{π}{6}$，B=$\frac{π}{3}$，C=$\frac{π}{2}$，
∴由可设a=k，b=$\sqrt{3}$k，c=2k，k为正数，
又∵a，b，c+4成等比数列，
∴b²=a（c+4），∴3k²=k（2k+4），
解方程可得k=4，
∴a=4，b=4$\sqrt{3}$，c=8；
（3）∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$×4×4$\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}$，
△ABC的外接圆半径R满足2R=8，解得R=4

点评 本题考查正余弦定理解三角形，涉及三角形的面积公式，属中档题．