Question

12．已知数列{a_n}中，a₁=1，其前n项和为S_n，且满足a_n=$\frac{{2S}_{n}^{2}}{2{S}_{n}-1}$（n≥2），则数列{a_n}的前n项和为S_n=$\frac{1}{2n-1}$．

Answer 1

分析 a_n=$\frac{{2S}_{n}^{2}}{2{S}_{n}-1}$（n≥2），可得：（S_n-S_n-1）（2S_n-1）=2${S}_{n}^{2}$，化为$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，再利用等差数列的通项公式即可得出．

解答 解：∵a_n=$\frac{{2S}_{n}^{2}}{2{S}_{n}-1}$（n≥2），
∴（S_n-S_n-1）（2S_n-1）=2${S}_{n}^{2}$，
化为：-S_n-2S_nS_n-1+S_n-1=0，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，
∴数列$\{\frac{1}{{S}_{n}}\}$是等差数列，公差为2，首项为1．
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=1+2（n-1）=2n-1．
∴S_n=$\frac{1}{2n-1}$（n=1时也成立）．
故答案为：$\frac{1}{2n-1}$．

点评 本题考查了递推关系、等差数列递通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．