Question

3．分别求列函数的值域．
（1）f（x）=$\frac{\sqrt{4x-{x}^{2}}}{x+2}$；
（2）y=x+$\sqrt{4-{x}^{2}}$．

Answer 1

分析 （1）求出函数的定义域，然后把函数解析式变形，再利用配方法求函数的值域；
（2）令x=2sinα（-$\frac{π}{2}≤α≤\frac{π}{2}$）换元，然后转化为关于α的三角函数求值域．

解答 解：（1）由4x-x²≥0，得0≤x≤4，
∴f（x）=$\frac{\sqrt{4x-{x}^{2}}}{x+2}$=$\sqrt{\frac{4x-{x}^{2}}{（x+2）^{2}}}$=$\sqrt{-\frac{{x}^{2}-4x}{（x+2）^{2}}}$=$\sqrt{-\frac{（x+2）^{2}-8（x+2）+12}{（x+2）^{2}}}$=$\sqrt{-12\frac{1}{（x+2）^{2}}+8\frac{1}{x+2}-1}$，
∵0≤x≤4，
∴$\frac{1}{6}≤\frac{1}{x+2}≤\frac{1}{2}$，
∴当$\frac{1}{x+2}=\frac{1}{3}$时，$f（x）_{max}=\sqrt{-12×\frac{1}{9}+8×\frac{1}{3}-1}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
当$\frac{1}{x+2}=\frac{1}{6}=\frac{1}{2}$时，$f（x）_{min}=\sqrt{-12×\frac{1}{4}+8×\frac{1}{2}-1}$=0．
∴函数f（x）=$\frac{\sqrt{4x-{x}^{2}}}{x+2}$的值域为[0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$]；
（2）令x=2sinα（-$\frac{π}{2}≤α≤\frac{π}{2}$），则x²=4sin²α，
∴y=x+$\sqrt{4-{x}^{2}}$=2sinα$+\sqrt{4-4si{n}^{2}α}$=2sinα+2cosα=$2\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{4}）$，
∵$-\frac{π}{2}≤α≤\frac{π}{2}$，
∴$-\frac{π}{4}≤α+\frac{π}{4}≤\frac{3π}{4}$．
则$-\frac{\sqrt{2}}{2}≤sin（α+\frac{π}{4}）≤1$，
则-2$≤y≤2\sqrt{2}$．
∴y=x+$\sqrt{4-{x}^{2}}$的值域为[-2，$2\sqrt{2}$]．

点评 本题考查函数值域的求法，考查了配方法及换元法求函数的值域，是中档题．