Question

3．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）

• A． 函数f（x）的对称中心为（$\frac{π}{6}$+kπ，0）（k∈Z）
• B． f（-$\frac{7π}{12}$）=-2
• C． 函数f（x）在[$\frac{3π}{2}$，2π]上是减函数
• D． 函数f（x）在[π，$\frac{4π}{3}$]上是减函数

Answer 1

分析 由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，再根据正弦函数的单调性以及它的图象的对称性，得出结论．

解答 解：由函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$）的部分图象，可得$\frac{1}{2}$•$\frac{2π}{ω}$=$\frac{11π}{12}$-$\frac{5π}{12}$，求得ω=2．
再根据五点法作图，可得2•$\frac{5π}{12}$+φ=$\frac{π}{2}$，求得ω=-$\frac{π}{3}$，∴f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）．
令2x-$\frac{π}{3}$=kπ，可得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，k∈Z，可得函数的对称中心为（$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，0），k∈Z，故A不正确．
∵f（-$\frac{7π}{12}$）=2sin（-$\frac{7π}{6}$-$\frac{π}{3}$）=2sin（-$\frac{3π}{2}$）=-2sin$\frac{3π}{2}$=-2，不故B正确．
在[$\frac{3π}{2}$，2π]上，2x-$\frac{π}{3}$∈[$\frac{8π}{3}$，$\frac{11π}{4}$]，故f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）在[$\frac{3π}{2}$，2π]上是减函数，故C正确．
∵在[π，$\frac{4π}{3}$]上，2x-$\frac{π}{3}$∈[$\frac{5π}{3}$，$\frac{7π}{3}$]，故f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）在[$\frac{3π}{2}$，2π]上没有单调性，故D不正确，
故选：C．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，正弦函数的单调性以及它的图象的对称性，属于中档题．