Question

14．已知函数f（x）=3sin（2ωx+$\frac{π}{3}$），其中0＜ω＜2，若点（-$\frac{π}{6}$，0）为函数f（x）图象的一个对称中心．（1）求ω的值；
（2）求函数f（x）的周期和单调增区间；
（3）求f（x）≥$\frac{3}{2}$的解集．

Answer 1

分析 （1）利用正弦函数的对称中心，求得ω的取值范围，0＜ω＜2，0＜ω＜2，求得ω=1，
（2）写出函数解析式，$T=\frac{2π}{ω}$=π，求得周期，由正弦函数图形求得单调递增区间，
（3）f（x）≥$\frac{3}{2}$，由正弦函数的图象求得x的解集．

解答 解：（1）点（-$\frac{π}{6}$，0）为函数f（x）函数图象的对称中心，
∴f（-$\frac{π}{6}$）=0，即sin（-$\frac{π}{3}ω+\frac{π}{3}$）=0，
∴-$\frac{π}{3}ω+\frac{π}{3}$=kπ，k∈Z，
ω=1-3k，k∈Z，
0＜ω＜2，ω=1，
∴ω=1，
（2）f（x）=3sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∴$T=\frac{2π}{ω}$=π，
函数的周期为π，
由-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
-$\frac{5π}{12}+kπ$≤x≤$\frac{π}{12}+kπ$，k∈Z，
∴函数的单调递减区间为[-$\frac{5π}{12}+kπ$，$\frac{π}{12}+kπ$]，k∈Z，
（3）f（x）≥$\frac{3}{2}$即3sin（2x+$\frac{π}{3}$）≥$\frac{3}{2}$，
$\frac{π}{6}+2kπ$≤2x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{5π}{6}+2kπ$，k∈Z，
f（x）≥$\frac{3}{2}$的解集是x∈[$\frac{π}{6}+2kπ$，$\frac{5π}{6}+2kπ$]．

点评 本题考查求正弦函数的解析式、周期和单调区间及根据函数图象求函数的解集，属于中档题．