Question

13．已知函数f（x）=x²-$\frac{a}{x}$（a∈R），则下列结论正确的是（　　）

• A． ?a∈R，f（x）是偶函数
• B． ?a∈R，f（x）是奇函数
• C． ?a∈（0，+∞），f（x）在（-∞，0）上是增函数
• D． ?a∈（0，+∞），f（x）在（0，+∞）上是减函数

Answer 1

分析 A．根据函数偶函数的定义进行判断．
B．根据函数奇函数的定义进行判断．
C．求函数的导数，结合函数单调性和导数的关系进行判断．
D．求函数的导数，利用函数单调性和导数的关系进行判断．

解答 解：A．当a=0时，f（x）=x²，则f（-x）=f（x），此时函数f（x）是偶函数，故A正确，
B．若f（x）=x²-$\frac{a}{x}$是奇函数，
则f（-x）=-f（x），即x²+$\frac{a}{x}$=-x²+$\frac{a}{x}$，
即x²=-x²，恒成立，则x=0，此时函数f（x）无意义，故?a∈R，f（x）是奇函数错误，故B错误，
C．函数的导数f′（x）=2x+$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{2{x}^{3}+a}{{x}^{2}}$，当x＜0且a＞0时，f′（x）＜不恒成立，即此时函数f（x）在（-∞，0）上不是增函数，故C错误，
D..函数的导数f′（x）=2x+$\frac{a}{{x}^{2}}$，当x＞0且a＞0时，f′（x）＞0，即此时函数f（x）为增函数，故D错误，
故选：A．

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及函数奇偶性，以及单调性的判断，利用定义法和导数法是解决本题的关键．