Question

18．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1且4S_n=n（a_n+a_n+1）．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）猜想数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法加以证明；
（3）设数列{$\frac{{a}^{n}}{{2}^{n}}$}的前n项和为T_n，求证T_n＜3．

Answer 1

分析 （1）根据递推公式求出a₂，a₃，a₄；
（2）由此可以猜想a_n=2n-1，根据数学归纳法证明即可；
（3）根据错位相减法求出T_n=3-$\frac{1}{{2}^{n-2}}$-$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，再利用放缩法即可证明．

解答 解：（1）a₁=1且4S_n=n（a_n+a_n+1），
当n=1时，4S₁=a₁+a₂，∴a₂=3a₁=3，
当n=2时，4S₂=4（a₁+a₂）=2（a₂+a₃），∴a₃=2a₁+a₂=5a₁=5，
当n=3时，4S₃=4（a₁+a₂+a₃）=3（a₃+a₄），∴a₄=7a₁=7，
（2）由此可以猜想a_n=2n-1，下边用数学归纳法证明：
①当n=1时，a₁=2×1-1=1，猜想成立．
②假设当n=k时猜想成立，即a_k=2k-1，
∵S_n=$\frac{n（2n-1+1）}{2}$=n²，
那么当n=k+1时，∵4S_n=n（a_n+a_n+1），
∴4S_k=k（a_k+a_k+1），
∴4k²=k（2k-1+a_k+1），
∴a_k+1=2k+1，
∴当n=k+1时，猜想仍然成立．
综合①②可得，猜想对任意正整数都成立，a_n=2n-1，n∈N₊成立，
（3）∵数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}的前n项和为T_n，
∴T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{{2}^{2}}$+$\frac{5}{{2}^{3}}$+…+$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+$\frac{5}{{2}^{4}}$+…+$\frac{2n-3}{{2}^{n}}$+$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}$+2•$\frac{1}{{2}^{2}}$+2•$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+2•$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{1}{2}$-1+2（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$）-$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$=-$\frac{1}{2}$+2•$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=3-$\frac{1}{{2}^{n-2}}$-$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$＜3．

点评 本题考查了数列的递推公式和以及等差数列的前n项和，和数学归纳法和错位相减法求前n项和，培养了学生的运算能力和划归能力，属于难题．