Question

6．已知θ是锐角，且tanθ=$\sqrt{2}-1$，数列${a_{n+1}}=2{a_n}tan2θ+sin（2θ+\frac{π}{4}）-1$，数列{a_n}的首项a₁=1，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{na_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）tanθ=$\sqrt{2}-1$，利用倍角公式可得：2θ=$\frac{π}{4}$，可得$sin（2θ+\frac{π}{4}）$，由于数列${a_{n+1}}=2{a_n}tan2θ+sin（2θ+\frac{π}{4}）-1$=2a_n，可得a_n．
（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵tanθ=$\sqrt{2}-1$，
∴$tan2θ=\frac{2tanθ}{{1-{{tan}^2}θ}}=1，θ$为锐角，
解得2θ=$\frac{π}{4}$，
∴$sin（2θ+\frac{π}{4}）$=$sin\frac{π}{2}$=1，
∴数列${a_{n+1}}=2{a_n}tan2θ+sin（2θ+\frac{π}{4}）-1$=2a_n，
∴数列{a_n}是等比数列，首项a₁=1，公比为2．
∴a_n=2^n-1．
（2）na_n=n•2^n-1．
∴数列{na_n}的前n项和S_n=1+2×2+3×2²+…+n•2^n-1，
2S_n=2+2×2²+3×2³+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，
∴-S_n=1+2+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$-n•2ⁿ=（1-n）•2ⁿ-1，
∴S_n=（n-1）•2ⁿ+1．

点评 本题考查了三角函数求值、“错位相减法”、等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．