Question

15．设S_n是数列{a_n}的前n项和，且a₁=-2，a_n+1=-$\frac{{S}_{n}^{2}}{1+{S}_{n}}$，n∈N^*，则S_n=$\frac{2}{2n-3}$．

Answer 1

分析 由a_n+1=-$\frac{{S}_{n}^{2}}{1+{S}_{n}}$化简可得$\frac{1}{{S}_{n+1}}$=$\frac{1+{S}_{n}}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{{S}_{n}}$+1，从而可得{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以-$\frac{1}{2}$为首项，1为公差的等差数列，从而求得．

解答 解：∵a_n+1=-$\frac{{S}_{n}^{2}}{1+{S}_{n}}$，
∴S_n+1-S_n=-$\frac{{S}_{n}^{2}}{1+{S}_{n}}$，
∴S_n+1=-$\frac{{S}_{n}^{2}}{1+{S}_{n}}$+S_n=$\frac{{S}_{n}}{1+{S}_{n}}$，
∴$\frac{1}{{S}_{n+1}}$=$\frac{1+{S}_{n}}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{{S}_{n}}$+1，
又∵$\frac{1}{{S}_{1}}$=-$\frac{1}{2}$，
∴{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以-$\frac{1}{2}$为首项，1为公差的等差数列，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=-$\frac{1}{2}$+（n-1）•1=$\frac{2n-3}{2}$，
∴S_n=$\frac{2}{2n-3}$，
故答案为：$\frac{2}{2n-3}$．

点评 本题考查了数列的性质的判断与应用，同时考查了转化思想与构造法的应用，属于中档题．