Question

4．已知a，b，c∈R且bc＞0，若a+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$=$\frac{bc}{a}$，则（a+$\frac{1}{b}$）（a+$\frac{1}{c}$）的最小值？

Answer 1

分析 变形已知式子可得a²+$\frac{a}{b}$+$\frac{a}{c}$=bc，整体代入可得（a+$\frac{1}{b}$）（a+$\frac{1}{c}$）=a²+$\frac{a}{b}$+$\frac{a}{c}$+$\frac{1}{bc}$=bc+$\frac{1}{bc}$，由基本不等式可得．

解答 解：∵a，b，c∈R且bc＞0，且a+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$=$\frac{bc}{a}$，
∴a²+$\frac{a}{b}$+$\frac{a}{c}$=bc，∴（a+$\frac{1}{b}$）（a+$\frac{1}{c}$）
=a²+$\frac{a}{b}$+$\frac{a}{c}$+$\frac{1}{bc}$=bc+$\frac{1}{bc}$≥2
当且仅当bc=$\sqrt{2}$时取等号．
故（a+$\frac{1}{b}$）（a+$\frac{1}{c}$）的最小值为2．

点评 本题考查基本不等式求最值，整体代入是解决问题的关键，属中档题．