Question

16．某沿海地区共有100户农民从事种植业，据调查，每户年均收入为m万元．为了调整产业结构，当地政府决定动员部分种植户从事水产养殖．据估计，如果能动员x（x＞0）户农民从事水产养殖，那么剩下从事种植的农民每户年均收入有望提高2x%，从事水产养殖的农民每户年均收入为$m（a-\frac{3x}{50}）$（a＞0）万元．
（Ⅰ）在动员x户农民从事水产养殖后，要使从事种植的农民的年总收入不低于动员前从事种植的年总收入，试求x的取值范围；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，要使这100户农民中从事水产养殖的农民的年总收入始终不高于从事种植的农民的年总收入，试求实数a的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题中条件：“从事蔬菜种植的农民的年总收入不低于动员前从事蔬菜种植的年总收入”得到一个不等关系，列不等式得x的取值范围；
（Ⅱ）问题先转化成一个不等关系，然后转化为恒成立问题解决．

解答 解：（Ⅰ）由题意得m（100-x）（1+2x%）≥100m，
即x²-50x≤0，解得0≤x≤50，
又因为x＞0，所以0＜x≤50；--------------------------------------------------（7分）
（Ⅱ）从事水产养殖的农民的年总收入为$m（a-\frac{3x}{50}）x$万元，从事种植农民的年总收入为m（100-x）（1+2x%）万元，根据题意得，$m（a-\frac{3x}{50}）x$≤m（100-x）（1+2x%）恒成立，
即$ax≤100+x+\frac{x^2}{25}$恒成立．
又x＞0，所以$a≤\frac{100}{x}+\frac{x}{25}+1$恒成立，
而$\frac{100}{x}+\frac{x}{25}+1$≥5（当且仅当x=50时取得等号），
所以a的最大值为5．-----------------------------------------（16分）

点评 本题主要考查函数在实际生活中的应用、恒成立问题的解法．求不等式恒成立的参数的取值范围，是经久不衰的话题，也是高考的热点，它可以综合地考查中学数学思想与方法，体现知识的交汇．