Question

5．已知函数f（x）=|x|+$\frac{m}{x}$-1，其中m∈R；
（1）当m=2时，判断f（x）在区间（-∞，0）上的单调性，并用定义证明；
（2）讨论函数f（x）零点的个数．

Answer 1

分析 （1）当m=2时，求出函数f（x）的表达式，结合函数单调性的定义进行证明即可．
（2）利用参数转化法进行转化，构造函数，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：（1）当m=2时，f（x）=|x|+$\frac{2}{x}$-1，
当x＜0时，f（x）=-x+$\frac{2}{x}$-1，
设x₁＜x₂＜0，
则f（x₁）-f（x₂）=-x₁+$\frac{2}{{x}_{1}}$-1-（-x₂+$\frac{2}{{x}_{2}}$-1）=x₂-x₁+$\frac{2}{{x}_{1}}$-$\frac{2}{{x}_{2}}$=（x₂-x₁）$\frac{{x}_{1}{x}_{2}+2}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
∵x₁＜x₂＜0，∴x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，则f（x₁）＞f（x₂），
即f（x）在区间（-∞，0）上的单调递减；
（2）由f（x）=|x|+$\frac{m}{x}$-1=0，则$\frac{m}{x}$=1-|x|，
即m=x（1-|x|），（x≠0），
设h（x）=x（1-|x|）=$\left\{\begin{array}{l}{x（1-x），}&{x＞0}\\{x（1+x），}&{x＜0}\end{array}\right.$，
作出函数h（x）的图象如图：
由图象得到当m＞$\frac{1}{4}$或m＜-$\frac{1}{4}$时，m=h（x）有1个零点，
当m=-$\frac{1}{4}$或$\frac{1}{4}$或0时，m=h（x）有2个零点，
当-$\frac{1}{4}$＜m＜0或0＜m＜$\frac{1}{4}$时，m=h（x）有3个零点．

点评 本题主要考查函数单调性的判断和证明以及函数零点个数的判断，利用参数分离法结合数形结合是解决本题的关键．综合性较强．