Question

14．已知f（x）=sinx（1+sin2x）+cosxcos2x+2-$\sqrt{2}$．若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a=b，$\frac{sin（2A+C）}{sinA}=\sqrt{2}-2cosB$．则f（B）的值为 （　　）

• A． 2
• B． $\frac{1}{2}$
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 利用两角差的余弦公式将f（x）化简f（x）═$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）+2-$\sqrt{2}$，根据等腰三角形关系，2A+C=π，化简求得B=$\frac{π}{4}$，代入求得，f（B）=2．

解答 解：f（x）=sinx（1+sin2x）+cosxcos2x+2-$\sqrt{2}$，
=sinx+sinxsin2x+cosxcos2x+2-$\sqrt{2}$，
=cosx+sinx+2-$\sqrt{2}$，
=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）+2-$\sqrt{2}$，
$\frac{sin（2A+C）}{sinA}=\sqrt{2}-2cosB$，
若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a=b，
∴A=B，A+B+C=π，
∴2A+C=π，
$\frac{sin[（A+C）+A]}{sinA}$=0，
∴$\sqrt{2}$-2cosB=0，cosB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴B=$\frac{π}{4}$，
f（B）=f（$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$+2-$\sqrt{2}$=2，
∴f（B）=2，
故答案选：A．

点评 本题考查两角差的余弦公式和等腰三角形的性质，属于中档题．