Question

15．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+4x，0≤x＜4}\\{lo{g}_{2}（x-2），4≤x≤6}\end{array}\right.$，若存在x₁，x₂∈R，当0≤x₁＜4≤x₂≤6时，f（x₁）=f（x₂），则x₁f（x₂）的取值范围是[3，$\frac{256}{27}$]．

Answer 1

分析 先求出x₁的范围，再将x₁f（x₂）转化为x的函数，利用导数知识确定x₁f（x₂）的取值范围．

解答 解：∵4≤x₂≤6时，f（x）=log₂（x-2）∈[1，2]
∴由-x²+4x∈[1，2]得2-$\sqrt{3}$≤x₁≤2-$\sqrt{2}$或2+$\sqrt{2}$≤x₁≤2+$\sqrt{3}$．
∵f（x₁）=-x₁²+4x₁，f（x₁）=f（x₂）
∴x₁f（x₂）=x₁f（x₁）=x₁（-x₁²+4x₁）
令y=x₁f（x₂）=x₁（-x₁²+4x₁）
则y′=x₁（-3x₁+8）
∴2-$\sqrt{3}$≤x₁≤2-$\sqrt{2}$或2+$\sqrt{2}$≤x₁≤$\frac{8}{3}$时，函数单调递增；$\frac{8}{3}$≤x₁≤2+$\sqrt{3}$时，函数单调递减
∴x₁f（x₂）的取值范围为[3，$\frac{256}{27}$]．
故答案为[3，$\frac{256}{27}$]．

点评 本题考查分段函数，考查导数知识的运用，正确转化是解题的关键所在．