已知复数z=cosθ+isinθ．(1)求z2和z3,(2)利用归纳推理推测zn的表达式．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

20．已知复数z=cosθ+isinθ．
（1）求z²和z³；
（2）利用归纳推理推测zⁿ的表达式．

分析（1）利用复数的运算法则、倍角公式即可得出；
（2）利用（1）通过归纳推理推测可得：zⁿ的表达式．

解答解：（1）∵z=cosθ+isinθ，
∴z²=（cosθ+isinθ）²=cos²θ-sin²θ+2sinθcosθ=cos2θ+isin2θ．
∴z³=（cosθ+isinθ）²（cosθ+isinθ）=（cos2θ+isin2θ）（cosθ+isinθ）
=（cos2θcosθ-sin2θsinθ）+i（cos2θsinθ+sin2θcosθ）=cos3θ+isin3θ．
（2）由z=cosθ+isinθ，z²=cos2θ+isin2θ，z³=cos3θ+isin3θ，
进行归纳推理可知zⁿ=cosnθ+isinnθ．

点评本题考查了复数的运算法则、倍角公式、归纳推理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

练习册系列答案

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12．