Question

14．某市对该市高三年级的教学质量进行了一次检测，某校共有720名学生参加了本次考试，考试结束后，统计了学生在数学考试中，选择选做题A，B，C三题（三道题中必须且只能选一题作答）的答卷份数如表：

题号	A	B	C
答卷份数	160	240	320

该校高三数学备课组为了解参加测试的学生对这三题的答题情况，现用分层抽样的方法从720份答卷中抽出9份进行分析．
（Ⅰ）若从选出的9份答卷中抽出3份，求这3份中至少有1份选择A题作答的概率；
（Ⅱ）若从选出的9份答卷中抽出3份，记其中选择C题作答的份数为X，求X的分布列及其数学期望E（X）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意求出分别从A，B，C题的答卷中抽出2份、3份、4份． 利用对立事件概率计算公式能求出从选出的9份答卷中选出3份，这3份中至少有1份选择A题作答的概率．
（Ⅱ）由题意可知，选出的9份答卷中C题共有4份，则随机变量X可能的取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和E（X）．

解答 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题意可得：

题号	A	B	C
答卷数	160	240	320
抽出的答卷数	2	3	4

应分别从A，B，C题的答卷中抽出2份、3份、4份．    …（2分）
设事件D表示“从选出的9份答卷中选出3份，至少有1份选择A题作答”，
则：P（D）=1-p（$\overline{D}$）=1-$\frac{{C}_{7}^{3}}{{C}_{9}^{3}}$=1-$\frac{5}{12}$=$\frac{7}{12}$，
∴从选出的9份答卷中选出3份，这3份中至少有1份选择A题作答的概率$\frac{7}{12}$．…（5分）
（Ⅱ）由题意可知，选出的9份答卷中C题共有4份，
则随机变量X可能的取值为0，1，2，3…（6分）
P（X=0）=$\frac{{C}_{5}^{3}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{5}{42}$，P（X=1）=$\frac{{C}_{5}^{2}{C}_{4}^{1}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{10}{21}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{5}^{1}{C}_{4}^{2}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{4}{15}$，P（X=3）=$\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{1}{21}$，…（10分）
∴随机变量X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{5}{42}$	$\frac{1}{21}$	$\frac{5}{14}$	$\frac{1}{21}$

∴E（X）=$0×\frac{5}{42}+1×\frac{10}{21}+2×\frac{5}{14}+3×\frac{1}{21}$=$\frac{4}{3}$．…（12分）

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．