Question

19．第二届世界互联网大会将于2015年12月16日-18日在浙江乌镇进行，届时将有世界各国的互联网精英云集于此共商世界互联网的未来．现在人们的生活已经离不开互联网，网上购物已悄悄走进人们的生活，在刚刚过去的双十一，有4位好友相约：每个人通过执一枚质地均匀的骰子决定自己去哪家购物，掷出点数为5或6的人去淘宝购物，掷出点数小于5的人去京东商城购物，且参加者必须从淘宝网和京东商城选择一家购物．
（1）求这4个人中恰有1人去淘宝网购物的概率；
（2）用ξ，η本别表示这4个人中去淘宝网和京东商城购物的人数，记X=ξη，求随机变量X分分布列与数学期望EX．

Answer 1

分析 （1）设“这4个人中有i人去淘宝购物”为事件A_i（i=0，1，2，3，4），则P（A_i）=${C}_{4}^{i}（\frac{1}{3}）^{i}（\frac{2}{3}）^{4-i}$，（i=0，1，2，3，4）．由此能求出这4个人中恰有1人去淘宝网购物的概率．
（2）由题意X的可能取值为0，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（1）依题意，这4个人中，每个人去淘宝网的概率为$\frac{1}{3}$，
去京东商城购物的概率为$\frac{2}{3}$，
设“这4个人中有i人去淘宝购物”为事件A_i（i=0，1，2，3，4），
则P（A_i）=${C}_{4}^{i}（\frac{1}{3}）^{i}（\frac{2}{3}）^{4-i}$，（i=0，1，2，3，4）．
∴这4个人中恰有1人去淘宝网购物的概率：
P（A₁）=${C}_{4}^{1}（\frac{1}{3}）（\frac{2}{3}）^{3}$=$\frac{32}{81}$．
（2）由题意X的可能取值为0，3，4，
P（X=0）=P（A₀）+P（A₄）=${C}_{4}^{0}（\frac{2}{3}）^{4}+{C}_{4}^{4}（\frac{1}{3}）^{4}$=$\frac{17}{81}$，
P（X=3）=$P（{A}_{1}）+P（{A}_{3}）={C}_{4}^{1}（\frac{1}{3}）（\frac{2}{3}）^{3}$+${C}_{4}^{3}（\frac{1}{3}）^{3}（\frac{2}{3}）$=$\frac{40}{81}$，
P（X=4）=P（A₂）=${C}_{4}^{2}（\frac{1}{3}）^{2}（\frac{2}{3}）^{2}$=$\frac{24}{81}$，
∴X的分布列为：

X	0	3	4
P	$\frac{17}{81}$	$\frac{40}{81}$	$\frac{24}{81}$

EX=$0×\frac{17}{81}+3×\frac{40}{81}+4×\frac{24}{81}$=$\frac{8}{3}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．